Ce résultat, qui ne saurait être nié, est en contradiction manifeste avec les conséquences de la démonstration que nous avons rapportée : cette démonstration est donc nécessairement vicieuse, puisqu’elle tend à établir, en général, une propriété des surfaces angulaires et des bandes indéfinies qui n’a pas lieu sans restriction. On voit, en effet, que l’exactitude du théorème dont il s’agit dépend essentiellement du rapport qu’ont entre elles les dimensions variables des deux surfaces que l’on compare, rapport dont on ne saurait faire abstraction, bien qu’on suppose les surfaces infinies. Il faudra donc, avant d’employer la démonstration de Bertrand, se bien fixer sur le rapport que devront avoir, et constamment conserver les côtés de la surface angulaire et les hauteurs de la bande. Mais alors la démonstration est encore à créer ; et comme, en supposant même les surfaces infinies, il faudra raisonner sur des figures d’une forme déterminée, on ne parviendra probablement pas au but sans être contraint d’emprunter, du moins implicitement, quelque chose de cette théorie des parallèles qu’on avait, au contraire, en vue d’établir[1].
- ↑ En adoptant les idées de Bertrand, dont nous sommes loin d’ailleurs de nous dissimuler les inconvéniens, et que Bertrand lui-même n’a peut-être admises qu’en désespoir de cause ; on pourrait éluder la comparaison des bandes aux espaces angulaires, en procédant comme il suit : On ferait d’abord remarquer que l’angle droit vaut le quart d’un plan, et que l’angle aigu est moindre, et l’angle obtus plus grand que l’angle droit. On remarquerait ensuite que, si une
vement uniformément accéléré ; quelque grande que soit la vitesse constante du premier, et quelque petite que soit la force accélératrice qui sollicite le second ; au bout d’un intervalle de temps fini et assignable, celui-ci parviendra inévitablement à devancer l’autre : de sorte que l’espace indéfini parcouru par l’effet d’un mouvement uniformément accéléré est plus grand que l’espace indéfini parcouru par l’effet d’un mouvement uniforme. Cependant, un raisonnement tout pareil à celui de M. Stein tendrait à infirmer cette proposition. Or, ce raisonnement peut-il être, à la fois, fautif ici et exact ailleurs ? Nous en appelions, sur cette question, à M. Stein lui-même.
