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 Les corrections sont expliquées en page de discussion

$\operatorname {Cos} .^{p}{\frac {6\varpi }{m}}=$

${\frac {1}{2^{p-1}}}\left\{\operatorname {Cos} .{\frac {6p\varpi }{m}}+{\frac {p}{1}}\operatorname {Cos} .{\frac {6(p-2)\varpi }{m}}+{\frac {p}{1}}.{\frac {p-1}{2}}\operatorname {Cos} .{\frac {6(p-4)\varpi }{m}}+\ldots \right\},$

 

$\operatorname {Cos} .^{p}{\frac {2m\varpi }{m}}=$

${\frac {1}{2^{p-1}}}\left\{\operatorname {Cos} .{\frac {2mp\varpi }{m}}+{\frac {p}{1}}\operatorname {Cos} .{\frac {2m(p-2)\varpi }{m}}+{\frac {p}{1}}.{\frac {p-1}{2}}\operatorname {Cos} .{\frac {2m(p-4)\varpi }{m}}+\ldots \right\}.$

En prenant la somme de ces équations, on aura d’abord, par la première des équations (3),

${\begin{array}{lllll}\operatorname {Cos} .{\frac {2p\varpi }{m}}&+\operatorname {Cos} .{\frac {4p\varpi }{m}}&+\operatorname {Cos} .{\frac {6p\varpi }{m}}&+\ldots +\operatorname {Cos} .{\frac {2mp\varpi }{m}}&=0,\\\\\operatorname {Cos} .{\frac {2(p-2)\varpi }{m}}&+\operatorname {Cos} .{\frac {4(p-2)\varpi }{m}}&+\operatorname {Cos} .{\frac {6(p-2)\varpi }{m}}&+\ldots +\operatorname {Cos} .{\frac {2m(p-2)\varpi }{m}}&=0,\\\\\operatorname {Cos} .{\frac {2(p-4)\varpi }{m}}&+\operatorname {Cos} .{\frac {4(p-4)\varpi }{m}}&+\operatorname {Cos} .{\frac {6(p-4)\varpi }{m}}&+\ldots +\operatorname {Cos} .{\frac {2m(p-4)\varpi }{m}}&=0,\end{array}}$

 

Quant à la somme des derniers termes des seconds membres, il faut distinguer deux cas, 1.^o  si $p$ est impair, elle sera nulle, comme les autres, et l’on aura conséquemment, en changeant $p$ en $2n+1,$

$\left(\operatorname {Cos} .{\frac {2p\varpi }{m}}\right)^{2n+1}+\left(\operatorname {Cos} .{\frac {4p\varpi }{m}}\right)^{2n+1}+\left(\operatorname {Cos} .{\frac {6p\varpi }{m}}\right)^{2n+1}+\ldots$

$+\left(\operatorname {Cos} .{\frac {2mp\varpi }{m}}\right)^{2n+1}=0\,;\quad$(4)

c’est-à-dire,

Si, ayant divisé une circonférence en un nombre quelconque de parties égales, on abaisse de tous les points de division des perpendiculaires sur un diamètre mené par l’un d’eux, la somme des puissances impaires d’un même degré quelconque des distances du centre aux pieds de ces perpendiculaires, prises avec leurs signes, sera égale à zéro.