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partie imaginaire de cette somme doivent séparément s’anéantir. On a donc, pour $n<m$,

$\left.{\begin{aligned}&\operatorname {Cos} .{\frac {n}{m}}.2\omega +\operatorname {Cos} .2{\frac {n}{m}}.2\omega +\operatorname {Cos} .3{\frac {n}{m}}.2\omega +\ldots \operatorname {Cos} .m{\frac {n}{m}}.2\omega =0,\\\\&\operatorname {Sin} .{\frac {n}{m}}.2\omega +\operatorname {Sin} .2{\frac {n}{m}}.2\omega +\operatorname {Sin} .3{\frac {n}{m}}.2\omega +\ldots \operatorname {Sin} .m{\frac {n}{m}}.2\omega =0\,;\end{aligned}}\right\}(3)$

c’est-à-dire,

La somme soit des sinus soit des cosinus de tous les multiples d’une fraction quelconque de la circonférence, à partir du sinus ou du cosinus de cet arc lui-même, jusqu’à autant de fois cet arc qu’il y a d’unités dans le dénominateur de là fraction dont il s’agit, est constamment égale à zéro.

Si, en particulier, on avait $n=m,$ la somme des sinus serait encore nulle ; mais la somme des cosinus serait alors égale à $m$. C’est d’ailleurs une chose manifeste, puisque chaque sinus serait nul, et chaque cosinus égal à l’unité.

On sait que, $p$ étant un nombre entier positif quelconque on a

$\operatorname {Cos} .^{p}x=$

${\frac {1}{2^{p-1}}}\left\{\operatorname {Cos} .px+{\frac {p}{1}}\operatorname {Cos} .(p-2)x+{\frac {p}{1}}.{\frac {p-1}{2}}\operatorname {Cos} .(p-4)x+\ldots \right\},$

pourvu que l’on s’arrête dès qu’on ne rencontrera plus d’arcs positifs, et que, quand $p$ sera un nombre pair, on ne prenne que la moitié du terme qui contiendra l’arc nul. De cette formule on conclura, sous les mêmes conditions,

$\operatorname {Cos} .^{p}{\frac {2\varpi }{m}}={\frac {1}{2^{p-1}}}\times$

$\left\{\operatorname {Cos} .{\frac {2p\varpi }{m}}+{\frac {p}{1}}\operatorname {Cos} .{\frac {2(p-2)\varpi }{m}}+{\frac {p}{1}}.{\frac {p-1}{2}}\operatorname {Cos} .{\frac {2(p-4)\varpi }{m}}+\ldots \right\},$

$\operatorname {Cos} .^{p}{\frac {4\varpi }{m}}={\frac {1}{2^{p-1}}}\times$

$\left\{\operatorname {Cos} .{\frac {4p\varpi }{m}}+{\frac {p}{1}}\operatorname {Cos} .{\frac {4(p-2)\varpi }{m}}+{\frac {p}{1}}.{\frac {p-1}{2}}\operatorname {Cos} .{\frac {4(p-4)\varpi }{m}}+\ldots \right\},$