Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1825-1826, Tome 16.djvu/44

$\left.{\begin{aligned}&\operatorname {Cos} .{\frac {2\varpi }{m}}+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .{\frac {2\varpi }{m}},\\\\&\operatorname {Cos} .{\frac {4\varpi }{m}}+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .{\frac {4\varpi }{m}},\\\\&\operatorname {Cos} .{\frac {6\varpi }{m}}+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .{\frac {6\varpi }{m}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&\operatorname {Cos} .{\frac {2m\varpi }{m}}+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .{\frac {2m\varpi }{m}},\end{aligned}}\right\}\quad (1)$

donc, en vertu au même théorème, les n.^me puissances de ces racines seront respectivement

$\left.{\begin{aligned}&\operatorname {Cos} .{\frac {2n\varpi }{m}}+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .{\frac {2n\varpi }{m}},\\\\&\operatorname {Cos} .{\frac {4n\varpi }{m}}+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .{\frac {4n\varpi }{m}},\\\\&\operatorname {Cos} .{\frac {6n\varpi }{m}}+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .{\frac {6n\varpi }{m}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&\operatorname {Cos} .{\frac {2mn\varpi }{m}}+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .{\frac {2mn\varpi }{m}}.\end{aligned}}\right\}\quad (2)$

Mais, d’un autre côté, le théorème de Newton sur les sommes de puissances semblables des racines d’une équation quelconque, prouve que la somme des n.^me puissances des racines de l’équation $x^{m}-1=0$ est égale à $m,$ ou nulle, suivant que $n$ est ou n’est pas multiple de $m\,;$ donc, en supposant $n<m,$ la somme des fonctions (2) doit être nulle, et conséquemment la partie réelle et la