La somme ou la différence des angles que fait la droite génératrice de la surface conique du second ordre, dans chacune de ses situations, avec les deux lignes focales de cette surface est constante et égale à l’angle des deux droites qui résultent de la section de cette surface par le plan des lignes focales.
Si l’on conçoit une sphère, de rayon quelconque, ayant son centre au sommet ou centre de la surface conique, les deux nappes de cette surface détermineront sur la sphère deux courbes fermées, égales et opposées, et les deux lignes focales perceront cette sphère en quatre points, situés sur la circonférence du grand cercle qui coupera les deux courbes en deux parties égales. Ces points diviseront cette circonférence en quatre arcs dont les opposés seront égaux, et les milieux de ces arcs seront symétriquement situés par rapport aux deux courbes, dont ils pourront être considérés comme les centres sphériques. En ne considérant que l’une des courbes et les points de son intérieur par où passent les lignes focales de la surface conique, on pourra appeler cette courbe une ellipse sphérique, dont ces deux mêmes points seront les foyers. On pourra, au contraire, ne considérer que les parties des deux courbes les plus voisines l’une de l’autre, et appeler l’ensemble de ces deux parties une hyperbole sphérique, laquelle aura pour foyers les foyers des deux courbes les plus voisins de leurs sommets. En appelant en outre, rayons vecteurs les arcs de grands cercles qui joignent les différens points de l’une ou l’autre courbe à l’un des quatre foyers, on aura les deux théorèmes suivans :
La somme des deux rayons vecteurs des différens points d’une ellipse sphérique est constante et égale à la longueur du diamètre de cette courbe qui contient ses deux foyers.
La différence des deux rayons vecteurs des différens points d’une hyperbole sphérique est constante et égale à la longueur du diamètre de cette courbe qui contient ses deux foyers.
Si, le centre de l’ellipse ou de l’hyperbole sphérique restant fixe, on conçoit que le centre de la sphère s’en éloigne continuel-
