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termes effectifs, autant l’équation aura de couples de racines imaginaires, au moins.

Il est évident d’ailleurs que l’introduction ou la suppression d’une racine réelle, dans une équation, ne saurait modifier en aucune sorte le nombre de ses racines imaginaires.

Cela posé, soit

$px^{n+1}+qp^{n}+rx^{n-1}+sx^{n-2}$

une portion d’une équation de degré quelconque, si on y introduit une racine réelle indéterminée $-A,$ en multipliant son premier membre par $x+A,$ trois termes consécutifs de l’équation résultante seront

$(q+pA)x^{n+1}+(r+qA)p^{n}+(s+rA)x^{n-1}.$

Or, d’après ce qui a été dit plus haut, si l’on peut disposer de $A$ de manière à avoir à la fois

$q+pA=0,\qquad r+qA=0\,;$

ou bien

$r+qA=0,\qquad s+rA=0\,;$

ce qui exige qu’on ait

$q^{2}-pr=0,\quad$ou$\quad r^{2}-qs=0,$

l’équation aura deux racines imaginaires.

Mais quand bien même aucune de ces deux conditions ne pourrait être remplie, pourvu qu’en déterminant $A$ par la condition

$r+qA=0,\quad$qui donne$\quad A=-{\frac {r}{q}},$

il en résulte pour $q+pA$ et $s+rA$ des valeurs de mêmes signes, c’est-à-dire, des valeurs telles qu’on ait

$(q+pA)(s+rA)>0,$

l’équation aura également deux racines imaginaires, au moins ;