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tés sont les surfaces qui ont un centre, et dont il est facile d’obtenir l’équation générale. On propose de donner également l’équation générale des surfaces qui jouissent de la dernière propriété sans jouir de la première ?

Solution. Soient $\mathrm {P}$ le point donné et $2r$ la longueur commune que doivent avoir toutes les cordes qui concourront en ce point. Concevons dans l’espace une surface courbe, tout-à-fait arbitraire, continue ou discontinue. De l’un quelconque $\mathrm {C}$ des points de cette surface soit menée une droite au point $\mathrm {P} ,$ et faisons du même point le centre d’une sphère ayant un rayon égal à $r,$ cette sphère sera percée par la droite $\mathrm {PC}$ en deux points appartenant à deux nappes de la surface cherchée, laquelle sera continue ou discontinue suivant la nature du lieu des points $\mathrm {C.}$

Imitons ce procédé par l’analise. Soit pris le point $\mathrm {P}$ pour origine des coordonnées rectangulaires, et soit alors

$z=\operatorname {f} (x,y),\qquad$(1)

l’équation de la surface lieu des points $\mathrm {C} ,$ les équations de l’une quelconque des droites $\mathrm {PC}$ seront

$x=Az,\qquad y=Bz,\qquad$(2)

$\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ étant deux indéterminées ; et, en combinant entre elles les équations (1, 2), on en tirera pour le point $\mathrm {C}$ des équations de la forme

$x=A\varphi (A,B),\qquad y=B\varphi (A,B),\qquad z=\varphi (A,B).\quad$(3)

La sphère qui aura ce point pour centre et un rayon égal à $r$ aura pour équation

$\left\{x-A\varphi (A,B)\right\}^{2}+\left\{y-B\varphi (A,B)\right\}^{2}+\left\{z-\varphi (A,B)\right\}^{2}=r^{2}.\quad$(4)

En combinant donc cette dernière équation, pour chaque système de valeurs de $A$ et $B,$ avec les équations (2), on obtiendrait, tour-à-tour, tous les points des deux nappes de la surface cherchée. Pour