équivalentes, par un système quelconque de diamètres conjugués.
Démonstration. Concevons une ellipse divisée en quatre portions par deux diamètres conjugués quelconques, et soit projetée orthogonalement cette ellipse sur un plan tellement situé par rapport au sien que la projection soit un cercle ; les projections de ses diamètres conjugués seront deux diamètres de ce cercle se coupant à angles droits et divisant conséquemment sa surface en quatre parties égales ; mais les quatre portions correspondantes de l’ellipse auront pour mesure ces mêmes parties divisées par le cosinus de l’angle des deux plans ; donc en effet, ces quatre portions sont équivalentes.
THÉORÈME III. Le lieu des sommets de tous les parallélogrammes conjugués circonscrits à une même ellipse est une autre ellipse concentrique à la première, qui lui est semblable et qui est semblablement située.
Démonstration. Soit projetée orthogonalement l’ellipse, avec tous ses parallélogrammes conjugués circonscrits, sur un plan tellement situé par rapport au sien que la projection soit un cercle ; les projections des parallélogrammes conjugués seront des quarrés circonscrits à ce cercle lesquels auront conséquemment leurs sommets sur un autre cercle concentrique à celui-là. Les projections de l’ellipse et du lieu des sommets des parallélogrammes conjugués sont donc deux cercles concentriques ; ce lieu est donc une autre ellipse concentrique à la première, semblable à elle et semblablement située sur son plan.
THÉORÈME IV. Si deux ellipses tracées sur un même plan, sont à la fois concentriques, semblables et semblablement situées sur ce plan ; toute corde de la plus grande tangente à la plus petite la touchera au milieu de sa longueur.
Démonstration. On pourra toujours, en effet, projeter orthogonalement la figure sur un plan tel que sa projection soit le système de deux cercles concentriques ; et la proposition étant évidemment
