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${\begin{aligned}&{\sqrt {\left(x+{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}\right)^{2}+y^{2}}}={\frac {a^{2}+x{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}{a}},\\\\&{\sqrt {\left(x-{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}\right)^{2}+y^{2}}}={\frac {a^{2}-x{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}{a}}\,;\qquad (\mathrm {10} )\end{aligned}}$

d’où, en ajoutant membre à membre et réduisant,

${\sqrt {\left(x+{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}\right)^{2}+y^{2}}}+{\sqrt {\left(x-{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}\right)^{2}+y^{2}}}=2a.$

Or, les deux radicaux du premier membre de cette dernière équation expriment les distances de l’un quelconque des points de la courbe à deux points de l’axe des $x,$ pris à des distances ${\sqrt {a^{2}-b^{2}}}$ de part et d’autre de l’origine ; donc, la somme des distances des divers points de l’ellipse à deux points fixes, pris sur son plan, est une quantité constante. Ces points sont ce qu’on appelle les foyers de la courbe.

Ce qui précède suppose qu’on a $a>b.$ Dans cette hypothèse, si l’on répète le calcul que nous venons de faire, en traitant $b$ et $y$ comme nous avons traité $a$ et $x,$ et vice versâ, on s’assurera de l’existence de deux foyers imaginaires ; sur le plus petit des deux axes de la courbe^[1].

L’équation (10) peut être mise sous cette forme

${\frac {\sqrt {\left(x-{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}\right)^{2}+y^{2}}}{a^{2}-x{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}}={\frac {1}{a}},$

puis sous celle-ci

1. Voyez, sur ce sujet, la page 317 du VIII.^e volume du présent recueil.