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la courbe a alors un diamètre réel $2a,$ tandis que son conjugué $2b{\sqrt {-1}}$ a une longueur imaginaire, et c’est alors la différence des quarrés des rapports des coordonnées d’un même point de la courbe aux moitiés des diamètres auxquels elles sont respectivement parallèles qui est constamment égale à l’unité.

3.^o Enfin, dans la parabole, si l’on prend un diamètre quelconque pour axe des $x$ et la tangente à son extrémité pour axe des $y,$ l’équation de la courbe prend cette forme très-simple

$y^{2}=4cx.\qquad$(9)

Supposons que, dans les équations (7), (8), (9) les coordonnées soient rectangulaires. On tire de l’équation (7)

$y^{2}={\frac {b^{2}\left(a^{2}-x^{2}\right)}{a^{2}}},$

en ajoutant tour-à-tour aux deux membres

$\left(x+{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}\right)^{2}$ et $\left(x-{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}\right)^{2},$

on aura

${\begin{aligned}&\left(x+{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}\right)^{2}+y^{2}=\left\{{\frac {a^{2}+x{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}{a}}\right\}^{2},\\\\&\left(x-{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}\right)^{2}+y^{2}=\left\{{\frac {a^{2}-x{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}{a}}\right\}^{2},\end{aligned}}$

extrayant les racines quarrées des deux membres de ces deux équations, en remarquant que, par la nature de la courbe, $x$ ne pouvant être plus grand que $a,$ les racines des deux membres doivent être de mêmes signes, on aura