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appliquées à divers points de la droite $\mathrm {DE,}$ passeront par le point $\mathrm {D,}$ et qu’en conséquence le centre des moyennes harmoniques des points $\mathrm {A,A',A''} ,\ldots$ sera situé sur le prolongement de $\mathrm {DG,\ G}$ désignant toujours le centre de gravité des points $a,a',a'',\ldots .$

Les divers théorèmes que nous venons d’établir, et quelques autres que l’on déduit facilement des premiers, ont été démontrés par M. Poncelet, à l’aide d’une méthode très-différente de celle que nous venons de suivre. De plus, après avoir établi les propriétés du centre des moyennes harmoniques, l’auteur en a fait quelques applications ingénieuses, parmi lesquelles nous avons remarqué la construction d’une échelle harmonique, à l’aide d’un procédé fort simple, qui exige seulement l’emploi de la règle.

En partant de la définition que nous avons donnée du centre des moyennes harmoniques, il serait facile de déterminer analitiquement ce même centre. En effet, supposons les masses $m',m'',m''',\ldots ,$ respectivement concentrées sur des points $(x',y',z'),(x'',y'',z''),(x''',y''',z'''),\ldots ,$ et cherchons les coordonnées $x,y,z,$ du centre des moyennes harmoniques de ces masses, par rapport au plan des $xy.$

En faisant pour abréger,

$P'={\frac {m'}{z'}},\quad P''={\frac {m''}{z''}},\quad P'''={\frac {m'''}{z'''}},\ldots$

et désignant par $P$ la résultante des forces $P',P'',P''',\ldots ,$ on aura

$(1)\quad P=P'+P''+P'''+\ldots ={\frac {m'}{z'}}+{\frac {m''}{z''}}+{\frac {m'''}{z'''}}+\ldots =\Sigma {\frac {m'}{z'}}\,;$

et, comme on aura de plus, en vertu des formules relatives au centre des forces parallèles,