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monique ; et il est facile de prouver que, pour obtenir une semblable échelle, il suffit de mettre en perspective une échelle de parties égales. Plusieurs des conséquences qui résultent de la division harmonique d’une droite avaient déjà été développées par divers géomètres, entre lesquels on doit distinguer Maclaurin. M. Poncelet ajoute de nouvelles propositions à celles qui étaient connues. Les plus remarquables sont celles auxquelles il est conduit en généralisant la définition du centre des moyennes harmoniques. On peut en simplifier la démonstration et les rendre plus faciles à saisir, en substituant aux définitions qu’il présente, celles que nous allons indiquer

Si l’on suppose que chaque élément d’une droite matérielle homogène, et prolongée de part et d’autre à l’infini, attire un point situé hors de cette droite, suivant une certaine fonction de la distance, ce point sera sollicité au mouvement par une force perpendiculaire à la droite, et proportionnelle à une autre fonction de sa distance à cette droite. Si l’attraction entre deux points est réciproquement proportionnelle au quarré de leur distance, la force dont il s’agit sera réciproquement proportionnelle à la simple distance du point donné à la droite vers laquelle il est attiré^[1]. Cela posé, soient $\mathrm {DE}$ la

↑ Soit prise, en effet, la droite dont il s’agit pour axe des $x$ , et supposons le point attiré situé sur l’axe des $y$ , à une distance $b$ de l’origine ; l’attraction exercée sur ce point par un élément $\operatorname {d} x$ de cette droite sera ${\frac {\mathrm {A} \operatorname {d} x}{b^{2}+x^{2}}},\ \mathrm {A}$ étant une constante relative à la fois et à la masse de l’élément et à l’intensité de l’attraction. Cette attraction, estimée suivant l’axe des $y$ , sera donc ${\frac {\mathrm {A} \operatorname {d} x}{b^{2}+x^{2}}}\times {\frac {b}{\sqrt {b^{2}+x^{2}}}}={\frac {\mathrm {A} b\operatorname {d} x}{\left(b^{2}+x^{2}\right)^{\frac {1}{2}}}}$ ; différentielie dont l’intégrale est ${\frac {\mathrm {A} }{b}}.{\frac {x}{\sqrt {b^{2}+x^{2}}}}.$
Si l’on suppose la droite d’une longueur $2a,$ et ayant son milieu à l’origine, on obtiendra l’action totale exercée par cette droite, laquelle s’exer-

[p359-1] Soit prise, en effet, la droite dont il s’agit pour axe des $x$ , et supposons le point attiré situé sur l’axe des $y$ , à une distance $b$ de l’origine ; l’attraction exercée sur ce point par un élément $\operatorname {d} x$ de cette droite sera ${\frac {\mathrm {A} \operatorname {d} x}{b^{2}+x^{2}}},\ \mathrm {A}$ étant une constante relative à la fois et à la masse de l’élément et à l’intensité de l’attraction. Cette attraction, estimée suivant l’axe des $y$ , sera donc ${\frac {\mathrm {A} \operatorname {d} x}{b^{2}+x^{2}}}\times {\frac {b}{\sqrt {b^{2}+x^{2}}}}={\frac {\mathrm {A} b\operatorname {d} x}{\left(b^{2}+x^{2}\right)^{\frac {1}{2}}}}$ ; différentielie dont l’intégrale est ${\frac {\mathrm {A} }{b}}.{\frac {x}{\sqrt {b^{2}+x^{2}}}}.$
Si l’on suppose la droite d’une longueur $2a,$ et ayant son milieu à l’origine, on obtiendra l’action totale exercée par cette droite, laquelle s’exer-

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