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 Les corrections sont expliquées en page de discussion

$\operatorname {f} (x+k)=\operatorname {f} x+{\frac {k}{1}}\operatorname {f} 'x+{\frac {k^{2}}{1.2}}\operatorname {f} ''x+{\frac {k^{3}}{1.2.3}}\operatorname {f} '''x+\ldots +{\frac {k^{n-1}}{(n-1)!}}\operatorname {f} ^{(n-1)}x$

$+{\frac {k^{n}}{\operatorname {f} }}_{n}(x,x,x,\ldots x,x,x+k).\qquad$(13)

On reconnaît ici la série de Taylor, qui se trouve ainsi démontrée.

12. On a cette suite d’équations (1)

${\begin{aligned}&\operatorname {f} _{1}(x,x)=\operatorname {f} _{1}(x,x+k)-k\operatorname {f} _{2}(x,x,x+k),\\&\operatorname {f} _{2}(x,x,x+k)=\operatorname {f} _{2}(x,x+k,x+2k)-2k\operatorname {f} _{3}(x,x,x+k,x+2k),\\&\operatorname {f} _{3}(x,x,x+k,x+2k)=\operatorname {f} _{3}(x,x+k,x+2k,x+3k)\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad -3k\operatorname {f} _{4}(x,x,x+k,x+2k,x+3k),\\\end{aligned}}$

 

En prenant la somme des produits respectifs de ces équations par $+1,\ -k,\ +2k^{2},\ -3k^{3},+\ldots ,$ et réduisant, il viendra

$\operatorname {f} _{1}(x,x)=\operatorname {f} _{1}(x,x+k)-k\operatorname {f} _{2}(x,x+k,x+2k)$

$+1.2k^{2}\operatorname {f} _{3}(x,x+k,x+2k,x+3k)-\ldots$

$\pm (n-1)!k^{n-1}\operatorname {f} _{n}(x,x+k,x+2k,\ldots x+nk)$

$\pm n!k^{n}\operatorname {f} _{n+1}(x,x+k,x+2k,\ldots x+nk)\,;$

mais on a par la formule (5), en posant $y=\operatorname {f} x,$ d’où $\operatorname {f} _{1}(x,x)=\operatorname {f} 'x={\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}},$

${\begin{array}{rc}\operatorname {f} _{1}(x,x+k)&={\frac {\Delta y}{k}},\\\\\operatorname {f} _{2}(x,x+k,x+2k)&={\frac {\Delta ^{2}y}{1.2k^{2}}},\\\\\operatorname {f} _{3}(x,x+k,x+2k,x+3k)&={\frac {\Delta ^{3}y}{1.2.3k^{3}}},\end{array}}$



il viendra donc, en substituant et multipliant par $k$