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nature des multiplicateurs des diverses puissances de $k,$ dans la formule (12). Soit, en général, désigné par $\operatorname {f} ^{(p)}x,$ la limite vers laquelle tend sans cesse le rapport

${\frac {\operatorname {f} ^{(p-1)}(x+k)-\operatorname {f} ^{(p-1)}x}{k}},$

lorsque $k$ tend vers zéro ; où, en d’autres termes, ce que devient ce rapport, lorsque $k$ devient infiniment petit ou nul. Alors $\operatorname {f} 'x,\operatorname {f} ''x,\operatorname {f} '''x,\ldots ,$ seront ce qu’on appelle les dérivées successives de la fonction $\operatorname {f} x.$ On aura d’abord

$\operatorname {f} _{1}(x,x)=\operatorname {f} 'x\,;$

car on a

$\operatorname {f} _{1}(x,x+k)={\frac {\operatorname {f} (x+k)-\operatorname {f} x}{k}}\,;$

et les deux quantités $\operatorname {f} _{1}(x,x)$ et $\operatorname {f} 'x$ sont respectivement ce que deviennent les deux membres de cette équation, lorsqu’on suppose $k=0.$

On aura en conséquence,

${\frac {\operatorname {f} '(x+k)-\operatorname {f} 'x}{k}}={\frac {\operatorname {f} _{1}(x+k,x+k)-\operatorname {f} _{1}(x,x)}{k}}\,;$

mais, en vertu de la formule (11)

$\operatorname {f} _{1}(x+k,x+k)-\operatorname {f} _{1}(x,x)=k\left\{\operatorname {f} _{2}(x,x+k,x+k)+\operatorname {f} _{2}(x,x,x+k)\right\}$

donc

${\frac {\operatorname {f} '(x+k)-\operatorname {f} 'x}{k}}=\operatorname {f} _{2}(x,x+k,x+k)+\operatorname {f} _{2}(x,x,x+k)\,;$

donc aussi $\operatorname {f} ''x=2\operatorname {f} _{2}(x,x,x)\,;$ car ce sont là les limites respectives