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$\Delta ^{n}y_{p}=y_{p+n}-{\frac {n}{1}}y_{p+n-1}+{\frac {n}{1}}.{\frac {n-1}{2}}y_{p+n-2}$

$-{\frac {n}{1}}.{\frac {n-1}{2}}.{\frac {n-2}{3}}y_{p+n-3}+\ldots \,;$ (9)

d’où, en supposant $p$ nul

$\Delta ^{n}y=y_{n}-{\frac {n}{1}}y_{n-1}+{\frac {n}{1}}.{\frac {n-1}{2}}y_{n-2}$

$-{\frac {n}{1}}.{\frac {n-1}{2}}.{\frac {n-2}{3}}y_{n-3}+\ldots \,;$ (10)

formules inverses des formules (7) et (8).

10. Revenons au cas ou plusieurs des élémens de la fonction $f_{n}$ sont égaux entre eux. Nous avons observé (5) que, bien qu’alors cette fonction se présentât sous la forme ${\frac {0}{0}},$ elle n’en avait pas moins une valeur déterminée qui, en général, n’était ni nulle ni infinie, et que, bien qu’alors notre procédé ne fut plus propre à en assigner la valeur, les mêmes notations n’en étaient pas moins propres à la représenter ; en continuant donc à les employer, nous aurons d’abord (1)

$\operatorname {f} _{1}(b,b)-\operatorname {f} _{1}(a,b)=(b-a)\operatorname {f} _{2}(a,b,b),$

$\operatorname {f} _{1}(a,b)-\operatorname {f} _{1}(a,a)=(b-a)\operatorname {f} _{2}(a,a,b),$

d’où, en ajoutant et réduisant,

$\operatorname {f} _{1}(b,b)-\operatorname {f} _{1}(a,a)=(b-a)\left\{\operatorname {f} _{2}(a,b,b)+\operatorname {f} _{2}(a,a,b)\right\}.$

Nous aurons aussi

${\begin{aligned}\operatorname {f} _{2}(b,b,b)-\operatorname {f} _{2}(a,b,b)&=(b-a)\operatorname {f} _{3}(a,b,b,b),\\\operatorname {f} _{2}(a,b,b)-\operatorname {f} _{2}(a,a,b)&=(b-a)\operatorname {f} _{3}(a,a,b,b),\\\operatorname {f} _{2}(a,a,b)-\operatorname {f} _{2}(a,a,a)&=(b-a)\operatorname {f} _{3}(a,a,a,b),\end{aligned}}$

d’où en ajoutant encore et réduisant