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Soient ensuite $X,Y,Z$ les coordonnées du point $\mathrm {R} \,:$ si l’on décompose la résultante $\mathrm {OR}$ suivant les trois axes, $\mathrm {X} ,Y,Z$ en seront les composantes, et l’on devra avoir

${\begin{aligned}&X=x_{1}+x_{2}+x_{3}+\ldots x_{n},\\&Y=y_{1}+y_{2}+y_{3}+\ldots y_{n},\\&Z=z_{1}+z_{2}+z_{3}+\ldots z_{n}\,;\end{aligned}}$

on aura donc aussi

$X=0,\quad Y=0,\quad Z=n.\mathrm {OM}$

la résultante $\mathrm {OR}$ est donc dans l’axe des $z,$ et passe ainsi par le point $\mathrm {M} \,;$ et l’on a de plus $\mathrm {OR} =z=n.\mathrm {OM}$^[1].

M. Lenthéric observe, comme l’avait déjà fait M. Gerono à qui l’on doit le théorème que, quelle que soit la position du point $\mathrm {O,}$ dans l’espace, la résultante $\mathrm {OR}$ passera toujours par le même point $\mathrm {M.}$

Il remarque encore que, si l’on a un tétraèdre $\mathrm {OABC,}$ et qu’on joigne par une droite $\mathrm {OM}$ le point $\mathrm {O}$ avec le centre $\mathrm {M}$ des moyennes distances des trois points $\mathrm {A,B,C,}$ la longueur $\mathrm {OM}$ sera dirigée suivant la diagonale $\mathrm {OR}$ du parallélipipède construit sur $\mathrm {OA,OB,OC,}$ et sera le tiers de la sienne.

M. Querret a suivi un autre tour de démonstration. Il remarque d’abord que, dans le cas de deux forces, la vérité du théorème est manifeste, puisqu’il n’est alors que le principe du parallélogramme, énoncé sous une autre forme. Il démontre ensuite que, si ce théorème est vrai pour $n$ forces, il sera vrai encore en introduisant une nouvelle force dans le système, ce qui est également sans difficulté, et il en conclut que ce théorème est vrai quel que soit le nombre des forces.

1. Voyez aussi la page 314 du précédent volmue.
   J. D. G.