Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1825-1826, Tome 16.djvu/348

$\quad y\ =\operatorname {f} x,$

$\Delta y\ =\operatorname {f} (x+\Delta x)-\operatorname {f} x=\Delta x.\operatorname {f} _{1}(x,x+\Delta x),$

$\Delta ^{2}y=\Delta x\left\{\operatorname {f} _{1}(x+\Delta x,x+2\Delta x)-\operatorname {f} _{1}(x,x+\Delta x)\right\}.$

L’analogie conduit à soupçonner qu’en général

$\Delta ^{n}y=n!\Delta x^{n}\{\operatorname {f} _{n}(x,x+\Delta x,x+2\Delta x,\ldots x+n\Delta x).$

Pour changer ce soupçon en certitude, il suffit de prouver qu’il devra en être ainsi ; si l’on a

$\Delta ^{n-1}y=(n-1)!\Delta x^{n-1}\operatorname {f} _{n-1}(x,x+\Delta x,x+2\Delta x,\ldots x+(n-1)\Delta x)\,;$

or, en adoptant cette hypothèse, on aura

$\Delta ^{n}y=(n-1)!\Delta x^{n-1}\left\{\operatorname {f} _{n-1}(x,x+\Delta x,x+2\Delta x,\ldots x+n\Delta x)\right.$

$\left.-\operatorname {f} _{n-1}(x,x+\Delta x,\ldots x+(n-1)\Delta x)\right\}\,;$

c’est-à-dire,

$\Delta ^{n}y=n!\Delta x^{n}\{\operatorname {f} _{n}(x,x+\Delta x,x+2\Delta x,\ldots x+n\Delta x)\,;\qquad$(5)

comme nous l’avions annoncé.

8. Reprenons la formule (4)

$\operatorname {f} x=\operatorname {f} a+(x-a)\operatorname {f} _{1}(a,b)+(x-a)(x-b)\operatorname {f} _{2}(a,b,c)$

$+(x-a)(x-b)(x-c)\operatorname {f} _{3}(a,b,c,d)+\ldots$

supposons les élémens $a,b,c,\ldots$ équidifférens, et soient posés

$b-a=c-b=d-c=\ldots =k\,;$

soient faits, de plus

$y_{p}=\operatorname {f} a,\quad y_{p+1}=\operatorname {f} b,\quad y_{p+2}=\operatorname {f} c,\ldots ,y_{p+n}=\operatorname {f} x\,;$

nous aurons