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fonction également symétrique. Il demeure donc établi par là que, si la symétrie se soutient jusqu’à l’emploi de la $n$.^ième lettre, inclusivement, elle aura lieu encore après l’introduction de la $(n+1).$^ième, quel que soit $n\,;$ puis donc que cette symétrique a lieu en effet pour des fonctions interpolaires formées de deux et de trois lettres, il s’ensuit qu’elle doit être regardée comme un fait analitique généralement démontré.

4. D’après le mode de génération des fonctions interpolaires, il existe une relation fort simple entre deux d’entre elles de même ordre, ne différant l’une de l’autre que par un seul des élémens qui les composent. Puisqu’en effet on a

$\operatorname {f} _{n+1}(a,b,c,d,\ldots )={\frac {\operatorname {f} _{n}(b,c,d,\ldots )-\operatorname {f} _{n}(a,c,d,\ldots )}{b-a}},$

on en conclura

$\operatorname {f} _{n}(a,c,d,\ldots )-\operatorname {f} _{n}(b,c,d,\ldots )=(a-b)\operatorname {f} _{n+1}(a,b,c,d,\ldots ).\qquad$(1)

On peut également obtenir une relation très-remarquable entre trois de ces fonctions interpolaires de même ordre, ne différant que par l’exclusion donnée tour-à-tour à une lettre, sur trois d’entre elles. On a en effet, par la formule (1)

${\begin{aligned}&\operatorname {f} _{n}(a,c,d,\ldots )-\operatorname {f} _{n}(b,c,d,\ldots )=(a-b)\operatorname {f} _{n+1}(a,b,c,d,\ldots ),\\&\operatorname {f} _{n}(a,b,d,\ldots )-\operatorname {f} _{n}(a,c,d,\ldots )=(b-c)\operatorname {f} _{n+1}(a,b,c,d,\ldots ).\,;\end{aligned}}$

d’où, en retranchant du produit de la première par $b-c$ le produit de la seconde par $a-b$ et réduisant,

$(a-b)\operatorname {f} _{n}(a,b,d,\ldots )+(b-c)\operatorname {f} _{n}(b,c,d,\ldots )+(c-a)\operatorname {f} _{n}(a,c,d,\ldots )=0\,;$ (2)