Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1825-1826, Tome 16.djvu/339

fonction évidemment symétrique en $a$ et $b,$ et on pourrait en dire autant de toutes les fonctions interpolaires à deux lettres ou du premier ordre.

On aura donc, semblablement,

$\operatorname {f} _{1}(a,c)={\frac {\operatorname {f} a}{a-c}}+{\frac {\operatorname {f} c}{c-a}}\,;$

mais,

$\operatorname {f} _{2}(a,b,c)={\frac {\operatorname {f} _{1}(a,c)-\operatorname {f} _{1}(a,b)}{c-b}}={\frac {\operatorname {f} _{1}(a,b)}{b-c}}+{\frac {\operatorname {f} _{1}(a,c)}{c-b}}\,;$

mettant donc pour $\operatorname {f} _{1}(a,b)$ et $\operatorname {f} _{1}(a,c)$ les valeurs ci-dessus, il viendra

$\operatorname {f} _{2}(a,b,c)={\frac {\operatorname {f} a}{(a-b)(b-c)}}+{\frac {\operatorname {f} b}{(b-a)(b-c)}}+{\frac {\operatorname {f} a}{(a-c)(c-b)}}+{\frac {\operatorname {f} c}{(c-a)(c-b)}}\,;$

ou, en réduisant à une seule les deux fractions de même numérateur,

$\operatorname {f} _{2}(a,b,c)={\frac {\operatorname {f} a}{(a-b)(a-c)}}+{\frac {\operatorname {f} b}{(b-a)(b-c)}}+{\frac {\operatorname {f} c}{(c-a)(c-b)}}\,;$

fonction également symétrique, et on démontrerait la même chose de toutes les fonctions interpolaires à trois lettres, ou du second ordre.

On pourrait, par des transformations analogues, étendre progressivement le même principe aux fonctions interpolaires des ordres supérieurs ; mais, afin de ne pas nous borner à une simple induction, à l’égard d’un principe qui est fondamental, dans la théorie qui nous occupe, prouvons que, si la symétrique se soutient jusqu’aux fonctions du $(n-1).$^ième ordre, inclusivement, elle aura lieu également pour celles du $n.$^ième.