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on en peut déduire une troisième d’un ordre inférieur à $m$.

Or, soit représenté généralement par

$Ax^{\alpha }y^{m-\alpha }$

un quelconque des termes de l’ordre $m$ de l’équation $V=0,\ \alpha$ pouvant avoir toutes les valeurs positives possibles, de zéro à $m\,;$ les dérivées de ce terme, par rapport à $x$ et $y$ seront respectivement

$\alpha Ax^{\alpha -1}y^{m-\alpha },\qquad (m-\alpha )Ax^{\alpha }y^{m-\alpha -1}.$

En prenant la somme de leurs produits par $x$ et $y,$ le résultat

$mAx^{\alpha }y^{m-\alpha },$

sera ce que ce terme aura fourni, dans la formation de l’équation (4) ; et, comme il est manifeste que les termes des ordres inférieurs, contenus dans l’équation $V=0,$ n’introduiront que des termes d’ordre inférieur à $m,$ dans l’équation (4) ; il s’ensuit que cette équation (4) contiendra exactement tous les termes de l’ordre $m$ de l’équation $V=0,$ multipliés simplement par $m$.

Donc, si, de cette équation (4), ou retranche $m$ fois l’équation $V=0,$ tous les termes de l’ordre $m$ disparaîtront de l’équation résultante, qui sera conséquemment d’un ordre inférieur à $m\,;$ mais ce sera l’équation d’une courbe qui contiendra tous les points de contact ; donc, comme l’annonce le théorème, ces points de contact sont sur une courbe d’un ordre inférieur à celui de la proposée.

Le théorème ne devant pas cesser d’avoir lieu lorsque le point d’où les tangentes sont issues se trouve infiniment distant de la courbe proposée, il en résulte le corollaire suivant :

Corollaire. Les points de contact d’une courbe plane, d’un ordre quelconque avec toutes ses tangentes parallèle à une droite fixe,