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$y=Mx\,;\qquad$(2)

mais en différentiant l’équation de la courbe dont il s’agit, on obtient

${\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y}}{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=0.$

Afin donc que la droite menée par l’origine lui soit tangente, il faudra qu’on ait

${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=M$

ce qui donnera

${\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y}}M=0\,;\qquad$(3)

éliminant donc $M$ entre les équations (2) et (3), on obtiendra, pour l’équation d’une courbe qui contiendra tous les points de contact

$x{\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x}}+y{\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y}}=0.\qquad$(4)

Cette équation, combinée avec l’équation (1), donnera les points de contact dont il s’agit.

Mais, quand des points sont donnés sur un plan, par l’intersection de deux courbes, ils sont tout aussi bien donnés par l’intersection de l’une d’elles avec une autre dont l’équation serait une combinaison quelconque des équations de ces deux-là. Tout se réduit donc à prouver que, de la combinaison des deux équations

$V=0,\qquad x{\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x}}+y{\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y}}=0.$