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Mais quand une ligne est donnée dans l’espace par les équations de deux surfaces, dont elle est l’intersection, elle est tout aussi bien donnée par l’intersection de l’une de ces surfaces avec une autre dont l’équation serait une combinaison quelconque des équations de ces deux-là. Tout se réduit donc à prouver que, de la combinaison des deux équations

$V=0,\qquad x{\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x}}+y{\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y}}+z{\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} z}}=0,$

on peut en déduire une troisième d’un ordre inférieur à l’ordre $m.$

Pour cela représentons généralement par

$Ax^{\alpha }y^{\beta }z^{m-\alpha -\beta }$

un quelconque des termes de l’ordre $m$ de l’équation $V=0,\ \alpha$ et $\beta$ pouvant avoir toutes les valeurs positives possibles, depuis zéro jusqu’à $\alpha +\beta =m.$ Les dérivées successives de ce terme, par rapport à $x,y,z$ seront respectivement

$\alpha Ax^{\alpha -1}y^{\beta }z^{m-\alpha -\beta },\ \beta Ax^{\alpha }y^{\beta -1}z^{m-\alpha -\beta },\ (m-\alpha -\beta )Ax^{\alpha }y^{\beta }z^{m-\alpha -\beta -1}.$

Pour savoir ce que ce terme produira dans l’équation (4), il faudra prendre la somme des produits de ces trois dérivées par $x,y$ et $z,$ ce qui donnera simplement ;

$mAx^{\alpha }y^{\beta }z^{m-\alpha -\beta },$

c’est-à-dire, ce terme lui-même multiplié simplement par $m.$ Quant aux termes des ordres inférieurs, contenus dans l’équation $V=0,$ il est manifeste qu’ils n’introduiront que des termes d’ordre inférieur à $m$ dans l’équation (4), de sorte que cette équation contiendra tous les termes de l’ordre $m$ de l’équation $V=0,$ multipliés simplement par $m.$