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$z=px+qy,\qquad$(1)

Cela posé, supposons que la surface à laquelle cette surface conique est circonscrite soit de l’ordre $m,$ et soit son équation

$\varphi (x,y,z)=V=0\qquad$(2)

ses deux équations différentielles partielles seront

${\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} z}}{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}=0,\qquad {\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y}}+{\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} z}}{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} y}}=0\,;$

or, si l’on veut que la surface conique lui soit circonscrite, il faudra qu’en leurs points communs elles aient le même plan tangent et qu’on ait conséquemment

${\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}=p,\qquad {\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} y}}=q,$

ce qui changera les deux équations différentielles partielles en celles-ci

${\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} z}}p=0,\qquad {\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y}}+{\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} z}}q=0.\qquad$(3)

Éliminant donc $p$ et $q,$ entre les équations (1) et (3), on obtiendra, pour une des équations de la ligne de contact des deux surfaces

$x{\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x}}+y{\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y}}+z{\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} z}}=0\,;\qquad$(4)

tandis que l’autre équation de cette même ligne sera évidemment l’équation (2).