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et $N$ une certaine relation que nous représenterons par l’équation

$\operatorname {F} (M,N)=0,$

dans laquelle mettant pour $M$ et $N$ les valeurs données par les deux équations précédentes, on obtiendra, pour l’équation générale, des surfaces coniques ayant leur sommet à l’origine

$\operatorname {F} \left({\frac {x}{z}},{\frac {y}{z}}\right),$

équation qui, résolue par rapport à ${\frac {y}{z}}$ deviendra

${\frac {y}{z}}=\operatorname {f} \left({\frac {x}{z}}\right)\,;$

dans laquelle $\operatorname {f}$ désigne une fonction tout-à-fait arbitraire.

Les deux différentielles partielles de cette équation, prises tourà-tour par rapport à $x$ et $y,$ sont

$-py=(z-px)\operatorname {f} '\left({\frac {x}{z}}\right),\qquad z-qy=-qx\operatorname {f} '\left({\frac {x}{z}}\right),$

où $p$ et $q$ représentent, à l’ordinaire, les deux coefficiens diffèrentiels partiels ${\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}},{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} y}}.$

En multipliant ces dernières équations en croix et réduisant, on obtiendra, pour l’équation différentielle partielle générale des surfaces coniques qui ont leur sommet à l’origine

$(z-px)(z-qy)=pqxy,$

ou bien en développant, réduisant et divisant par $z,$