GÉOMÉTRIE DES SURFACES COURBES.
Démonstration d’une propriété générale
des lignes de contact des surfaces courbes
avec les surfaces coniques circonscrites ;
Dans tous les traités analitiques des surfaces du second ordre, on démontre que la ligne de contact de ces sortes de surfaces avec la surface conique circonscrite est une courbe plane ; mais cette proposition n’est qu’un cas particulier d’une proposition plus générale que nous allons démontrer, et qu’on peut énoncer comme il suit :
THÉORÈME. La ligne de contact d’une surface d’un ordre quelconque avec la surface conique circonscrite, appartient toujours à une surface d’un ordre inférieur.
Démonstration. Soit une surface d’un ordre quelconque à laquelle on ait circonscrit une surface conique, ayant son sommet situé où l’on voudra, par rapport à cette première surface. Soit pris ce sommet pour origine des coordonnées, auxquelles nous supposons d’ailleurs une direction quelconque. Les équations de l’un des élémens de la surface conique seront de la forme
et, pour que cette droite ne puisse pas être une quelconque des droites menées par l’origine, il sera nécessaire qu’il existe entre
