et sa démonstration n’est relative qu’aux courbes planes ; mais il y a très-peu à faire pour l’étendra aux surfaces courbes, et pour lui donner en même temps tous les développemens qui semblent lui manquer encore ; et tel est le but que nous nous proposons ici.
Soient deux surfaces courbes quelconques, situées comme on voudra, l’une par rapport à l’autre, mais absolument fixes dans l’espace. Concevons deux sphères concentriques, mobiles et variables de rayon, mais de manière pourtant que leurs rayons conservent toujours entre eux un rapport constant ; et supposons que ces sphères se meuvent et varient de grandeur dans l’espace, de manière à être constamment et respectivement tangentes aux deux surfaces dont il s’agit ; leur centre commun engendrera une troisième surface, dont il s’agit d’assigner les relations avec les deux autres.
Supposons, en premier lieu, que les deux surfaces données soient des surfaces planes, que nous représenterons respectivement par et il est aisé de voir qu’alors la troisième sera aussi une surface plane, passant par l’intersection des deux premières. Soient, en effet, pour une situation et une grandeur quelconque des deux sphères, leur centre commun, et leurs points de contact respectifs avec les deux plans et de telle sorte que et soient des rayons de ces deux sphères ; rayons dont le rapport est supposé constant. Par ce centre et par la commune section des deux plans et soit conduit un troisième plan sur lequel soit pris arbitrairement un point De ce point soient abaissées des perpendiculaires et sur les plans et ces perpendiculaires seront respectivement parallèles à et En désignant donc par le point où la droite rencontre la commune section des trois plans on aura
et, par suite,
