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$\alpha ={\frac {c-1}{2}}+{\frac {1}{2}}\sum _{u=1}^{u=c}.\operatorname {Sin} .{\frac {2bu\varpi }{c}}.\operatorname {Cot} .{\frac {au\varpi }{c}}+{\frac {1}{2}}$

$={\frac {1}{2}}\left\{c+\sum _{u=1}^{u=c}.\operatorname {Sin} .{\frac {2bu\varpi }{c}}.\operatorname {Cot} .{\frac {au\varpi }{c}}\right\}.$

On pourra faire usage de cette expression, aussi bien que de la précédente, pour résoudre l’équation proposée^[1].

OPTIQUE.

Démonstration purement géométrique du principe
fondamental de la théorie des caustiques ;

Par M. Gergonne.

≈≈≈≈≈≈≈≈≈

À la page 14 du présent volume, nous exprimions le vœu de pouvoir offrir à nos lecteurs une démonstration du principe fondamental de la théorie des surfaces caustiques par réfraction aussi simple que celle qui a été donnée par M. Dupin, pour les surfaces caustiques par réflexion. Un article de M. Timmermans, professeur de Mathématiques au collège royal de Gand, inséré dans la Correspondance mathématique et physique du royaume des Pays-Bas (tom. I, n.^o 6, pag. 336), recueil encore trop peu répandu en France, nous met en situation de remplir ce vœu au-delà de nos espérances. L’auteur tourne un peu court, il est vrai,

1. Ces formules, étendues à un nombre quelconque d’équations du premier degré, entre un grand nombre d’inconnues, compléteraient la théorie exposée à la page 147 du III.^e volume du présent recueil.
   J. D. G.