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 Les corrections sont expliquées en page de discussion

$a=3,\quad b=1,\quad c=4\,;$

et par conséquent

$\alpha ={\frac {4-1}{2}}+{\frac {1}{2}}\sum _{u=1}^{u=4}.{\frac {\operatorname {Sin} .2u\left(1-{\frac {3}{2}}\right){\frac {\varpi }{4}}}{\operatorname {Sin} .{\frac {3u\varpi }{4}}}}={\frac {3}{2}}-{\frac {1}{2}}\sum _{u=1}^{u=4}.{\frac {\operatorname {Sin} .u{\frac {\varpi }{4}}}{\operatorname {Sin} .3u{\frac {\varpi }{4}}}}\,;$

c’est-à-dire,

$\alpha ={\frac {3}{2}}-{\frac {1}{2}}\left\{{\frac {\operatorname {Sin} .{\frac {\varpi }{4}}}{\operatorname {Sin} .{\frac {3\varpi }{4}}}}+{\frac {\operatorname {Sin} .{\frac {2\varpi }{4}}}{\operatorname {Sin} .{\frac {6\varpi }{4}}}}+{\frac {\operatorname {Sin} .{\frac {3\varpi }{4}}}{\operatorname {Sin} .{\frac {9\varpi }{4}}}}\right\}$

$={\frac {3}{2}}-{\frac {1}{2}}(1-1+1)={\frac {3}{2}}-{\frac {1}{2}}={\frac {2}{2}}=1\,;$

et toutes les valeurs de $x$ qui résolvent l’équation $3x+1=4y$ seront données par l’équation $x=1+4z,$ comme on le sait d’ailleurs.

La valeur de $\alpha$ peut, en général, se calculer à l’aide des tables du sinus. Il est vrai que, par ce moyen, on n’obtiendra, le plus souvent, que des valeurs fractionnaires approchées ; mais comme, d’après ce qui précède, $x$ ne peut avoir que des valeurs entières, on en trouvera la valeur exacte en substituant à cette valeur approchée le nombre entier le plus voisin.

On peut observer que, puisqu’on a

${\frac {\operatorname {Sin} .(2b-a){\frac {u\varpi }{c}}}{\operatorname {Sin} .{\frac {au\varpi }{c}}}}={\frac {\operatorname {Sin} .{\frac {2bu\varpi }{c}}.\operatorname {Cos} .{\frac {au\varpi }{c}}-\operatorname {Cos} .{\frac {2bu\varpi }{c}}.\operatorname {Sin} .{\frac {au\varpi }{c}}}{\operatorname {Sin} .{\frac {au\varpi }{c}}}}$

$=\operatorname {Sin} .{\frac {2bu\varpi }{c}}.\operatorname {Cot} .{\frac {au\varpi }{c}}-\operatorname {Cos} .{\frac {2bu\varpi }{c}},$

et que d’ailleurs

$\sum _{u=1}^{u=c}\operatorname {Cos} .{\frac {2bu\varpi }{c}}=-1,$

on pourra écrire