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$c,$ qui satisfont à l’équation $ax+b=cy,$ lorsqu’elle est résoluble et que, lorsqu’elle ne l’est pas, cette intégrale se réduit à zéro.

Nous avons démontré que, si $a$ et $c$ ont un facteur commun, différent de l’unité, qui ne divise pas $b,$ l’équation $ax+b=cy$ n’admet aucune solution entière, et comme, si ce facteur commun divise aussi $b,$ on peut toujours le supprimer, il sera permis dans en cas, de supposer que $a$ et $c$ sont premiers entre eux ; et alors on sera assuré qu’il existe toujours une valeur entière de $x,$ comprise entre zéro et $c$ y qui satisfait à l’équation dont il s’agit, et qu’il n’en existe qu’une seule.

Actuellement, pour trouver cette valeur de $x,$ on considérera le terme général de l’intégrale (4), et on aura

(5)$\qquad {\frac {1}{c}}\sum _{x=0}^{x=c}x.\operatorname {Cos} .2u{\frac {ax+b}{c}}\varpi$

$={\frac {(c-1)\operatorname {Sin} .2u\left(b+ca-{\frac {1}{2}}a\right){\frac {\varpi }{c}}-\operatorname {Sin} .2u\left(b+{\frac {1}{2}}a\right){\frac {\varpi }{c}}}{2c\operatorname {Sin} .{\frac {ua\varpi }{c}}}}$

$+{\frac {\operatorname {Cos} .2u(ca+b-a){\frac {\varpi }{c}}-\operatorname {Cos} .2u(b+a){\frac {\varpi }{c}}}{c\left(2\operatorname {Sin} .{\frac {ua\varpi }{c}}\right)^{2}}}.$

Il faudra faire successivement $u=1,2,3,\ldots (c-1),$ et ajouter au résultat le premier terme de la série (4) qui est

${\frac {1}{c}}\sum _{x=0}^{x=c}x={\frac {c(c-1)}{2c}}={\frac {c-1}{c}}.$

Puisque $a$ et $c$ sont premiers entre eux, et que $u$ est plus petit que $c,$ il s’ensuit que le dénominateur $2c\operatorname {Sin} .{\frac {ua\varpi }{c}}$ du second