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$1+\operatorname {Cos} .{\frac {2b\varpi }{g}}+\operatorname {Cos} .{\frac {4b\varpi }{g}}+\ldots +\operatorname {Cos} .{\frac {2(g-1)\varpi }{g}},$

dont la somme

${\frac {\operatorname {Sin} .2\left(b-{\frac {1}{2}}{\frac {b}{g}}\right)\varpi +\operatorname {Sin} .{\frac {b\varpi }{g}}}{2\operatorname {Sin} .{\frac {b\varpi }{g}}}},$

a pour valeur $g\,;$ lorsque ${\frac {b}{g}}$ est un nombre entier, et se réduit à zéro, dans le cas contraire.

De là résulte 1.^o que l’équation $ax+b=cy$ a toujours une solution entière, et plus petite que $c,$ lorsque $a$ et $c$ n’ont d’autres diviseurs communs que l’unité ;

2.^o Que si $a$ et $c$ ont un commun diviseur $g,$ différent de l’unité, qui ne divise point $b,$ cette équation n’admet aucune solution entière ;

3.^o Qu’enfin, si ${\frac {b}{g}}$ est un nombre entier, on trouvera pour $x$ un nombre $g$ de valeurs entières, plus petites que $c,$ qui satisferont à l’équation proposée.

Puisque l’intégrale (3) représente le nombre des solutions entières de l’équation $ax+b=cy,$ en prenant pour $x$ des valeurs moindres que $c,$ il est clair que la formule

(4) ${\frac {1}{c}}\sum _{x=0}^{x=c}x\left\{\operatorname {Cos} .{\frac {0(ax+b)\varpi }{c}}+\operatorname {Cos} .{\frac {2(ax+b)\varpi }{c}}+\ldots \right.$

$\left.+\operatorname {Cos} .{\frac {2u(ax+b)\varpi }{c}}+\ldots +\operatorname {Cos} .{\frac {2(c-1)(ax+b)\varpi }{c}}\right\}$

$={\frac {1}{c}}\sum _{x=0}^{x=c}x\left\{1+\operatorname {Cos} .2\left({\frac {ax+b}{c}}\right)\varpi +\ldots +\operatorname {Cos} .2u\left({\frac {ax+b}{c}}\right)\varpi +\ldots \right.$

$\left.+\operatorname {Cos} .2(c-1)\left({\frac {ax+b}{c}}\right)\varpi \right\}$

exprimera la somme des valeurs de $x,$ entières et moindres que