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On devra donc différentier le numérateur et le dénominateur par rapport à $a,$ pour en avoir la valeur déterminée, et l’on trouvera

${\frac {\operatorname {Sin} .2\left(b+ang-{\frac {1}{2}}a\right){\frac {\varpi }{g}}-\operatorname {Sin} .2\left(b-{\frac {1}{2}}a\right){\frac {\varpi }{g}}}{2ng\operatorname {Sin} .{\frac {a\varpi }{g}}}}$

$={\frac {2\left(ng-{\frac {1}{2}}\right){\frac {\varpi }{g}}\operatorname {Cos} .2\left(b+ang-{\frac {1}{2}}a\right){\frac {\varpi }{g}}+{\frac {\varpi }{g}}\operatorname {Cos} .2\left(b-{\frac {1}{2}}a\right){\frac {\varpi }{g}}}{2ng.{\frac {\varpi }{g}}.\operatorname {Cos} .{\frac {a\varpi }{g}}}}$

$={\frac {2ng\varpi .\operatorname {Cos} .2\left(b-{\frac {1}{2}}a\right){\frac {\varpi }{g}}}{2ng\varpi .\operatorname {Cos} .{\frac {a\varpi }{g}}}}={\frac {\operatorname {Cos} .2\left(b-{\frac {1}{2}}a\right){\frac {\varpi }{g}}}{\operatorname {Cos} .{\frac {a\varpi }{g}}}}$

$={\frac {\operatorname {Cos} .2\left(b-{\frac {mg}{2}}\right){\frac {\varpi }{g}}}{\operatorname {Cos} .m\varpi }}={\frac {\operatorname {Cos} .{\frac {2b\varpi }{g}}.\operatorname {Cos} .m\varpi +\operatorname {Sin} .{\frac {2b\varpi }{g}}.\operatorname {Sin} .m\varpi }{\operatorname {Cos} .m\varpi }}$

$=\operatorname {Cos} .{\frac {2b\varpi }{g}}.$

Si, au lieu de prendre $u=n,$ on fait, en général, $u=en,\ e$ étant un nombre entier quelconque, on trouve

${\frac {1}{c}}\sum _{x=0}^{x=c}\operatorname {Cos} .2en.{\frac {ax+b}{c}}\varpi =\operatorname {Cos} .{\frac {2eb\varpi }{g}}\,;$

et, comme le nombre $n$ est compris $g-1$ fois dans $c-1,$ on pourra faire successivement $e=0,1,2,3\ldots g-1\,;$ et la valeur de l’intégrale (3) sera exprimée (dans le cas actuel, où l’on suppose que $a$ et $c$ ont un commun diviseur $g$) par la série