Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1825-1826, Tome 16.djvu/307

puissances $n.$^ièmes, $(n-m)$^ièmes, $(n-2m)$^ièmes, $(n-3m)$^ièmes, … de ses racines, on aura

$P_{n}=P_{n-m}=P_{n-2m}=P_{n-3m}=\ldots \,;$

de sorte que, si $n$ est un multiple de $m,$ on obtient $P_{n}=m\,;$ et, dans le cas contraire, on trouve $P_{n}=0.$ En exprimant les racines de l’équation (1) en fonctions circulaires, on aura

$P_{n}=\left\{{\begin{aligned}&\left(\operatorname {Cos} .{\frac {0.\varpi }{m}}+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .{\frac {0.\varpi }{m}}\right)^{n}\\\\+&\left(\operatorname {Cos} .{\frac {2\varpi }{m}}+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .{\frac {2\varpi }{m}}\right)^{n}\\\\+&\left(\operatorname {Cos} .{\frac {4\varpi }{m}}+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .{\frac {4\varpi }{m}}\right)^{n}\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\+&\left(\operatorname {Cos} .{\frac {2u\varpi }{m}}+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .{\frac {2u\varpi }{m}}\right)^{n}\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\+&\left(\operatorname {Cos} .{\frac {2(m-1)\varpi }{m}}+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .{\frac {2(m-1)\varpi }{m}}\right)^{n}\end{aligned}}\right\}.$

Si l’on transforme le second membre, au moyen de la relation connue $(\operatorname {Cos} .z+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .z)^{n}=\operatorname {Cos} .nz+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .nz,$ et qu’on néglige les imaginaires qui, dans le cas actuel, doivent nécessairement se détruire, on obtiendra

$P_{n}=\operatorname {Cos} .{\frac {0n\varpi }{m}}+\operatorname {Cos} .{\frac {2n\varpi }{m}}+\operatorname {Cos} .{\frac {4n\varpi }{m}}+\ldots \operatorname {Cos} .{\frac {2un\varpi }{m}}+\ldots \operatorname {Cos} .{\frac {2(m-1)n\varpi }{m}},$

c’est-à-dire,