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${\sqrt[{m}]{x}}=\left\{{\begin{aligned}&\left\{1-{\frac {1}{mn}}\left({\frac {1}{x^{n}+1}}\right)-{\frac {1}{mn}}.{\frac {mn-1}{2mn}}\left({\frac {1}{x^{n}+1}}\right)^{2}\right.\\\\&\qquad \qquad \left.-{\frac {1}{mn}}.{\frac {mn-1}{2mn}}.{\frac {2mn-1}{3mn}}\left({\frac {1}{x^{n}+1}}\right)^{3}-\ldots \right\}\\\\\times &\left\{1+{\frac {1}{mn}}\left({\frac {x^{n}}{x^{n}+1}}\right)+{\frac {1}{mn}}.{\frac {mn+1}{2mn}}\left({\frac {x^{n}}{x^{n}+1}}\right)^{2}\right.\\\\&\qquad \qquad \left.+{\frac {1}{mn}}.{\frac {mn+1}{2mn}}.{\frac {2mn+1}{3mn}}\left({\frac {x^{n}}{x^{n}+1}}\right)^{3}+\ldots \right\}\\\\\end{aligned}}\right\}.$

Si l’on prend pour $n$ un nombre pair, les deux séries dont le produit compose le développement de ${\sqrt[{m}]{x}}$ seront constamment convergentes, quelque valeur entière ou fractionnaire, positive ou négative qu’on donne à $x.$

On a aussi.

$\operatorname {Log} .x={\frac {1}{n}}\left\{\operatorname {Log} .z-\operatorname {Log} .(1-z)\right\}\,;\qquad$(2)

mais on sait que

$\operatorname {Log} .z=-(1-z)-{\frac {1}{2}}(1-z)^{2}-{\frac {1}{3}}(1-z)^{3}-{\frac {1}{4}}(1-z)^{4}-\ldots ,$

$-\operatorname {Log} .(1-z)=z+{\frac {1}{2}}z^{2}\qquad +{\frac {1}{3}}z^{3}\qquad +{\frac {1}{4}}z^{4}+\ldots \,;$

substituant dans (2), et remettant ensuite pour $z$ sa valeur en $x,$ on aura, quel que soit $n,$

$\operatorname {Log} .x={\frac {1}{n}}\left\{{\frac {x^{n}-1}{x^{n}+1}}+{\frac {1}{2}}.{\frac {x^{2n}-1}{(x^{n}+1)^{2}}}+{\frac {1}{3}}.{\frac {x^{3n}-1}{(x^{n}+1)^{3}}}+{\frac {1}{4}}{\frac {x^{4n}-1}{(x^{n}+1)^{4}}}+\ldots \right\}\,;$

série qui, lorsqu’on prendra pour $n$ un nombre pair, aura le même avantage que le développement ci-dessus.

Si, en particulier, on y fait $n=2,$ on retombera sur le développement déjà obtenu (tom. XIV, pag. 279).