l’angle dont il s’agit. Cette droite qu’on pourra appeler la polaire du point fixe, passera évidemment par le sommet de l’angle.
La construction qui donne un point quelconque de cette polaire fait voir que ce point est, à son tour, le pôle de la droite qui joint le sommet de l’angle au pôle primitif, de sorte que toute droite menée par ce nouveau pôle est coupée harmoniquement par ce point lui-même, par sa polaire et par les deux côtés de l’angle. De là résultent deux conséquences ; premièrement, les différens points d’une droite menée arbitrairement par le sommet d’un angle et dans son plan, n’ont qu’une seule et même polaire située dans ce plan, et passant comme elle par le sommet de l’angle ; en second lieu, si quatre droites, issues d’un même point et comprises dans un même plan, sont tellement dirigées qu’elles divisent harmoniquement une seule droite tracée dans ce plan, elles diviseront aussi harmoniquement toute autre droite qu’on voudra tracer dans le même plan. À cause de cette propriété, l’ensemble de ces quatre droites est appelé faisceau harmonique. Elles sont conjuguées deux à deux, comme les points d’un groupe harmonique.
On doit observer que, si un faisceau harmonique est coupé par une parallèle à l’une des droites qui le compose, la conjuguée de cette droite passera par le milieu de la portion de parallèle interceptée entre les deux autres. En particulier, si deux des droites du faisceau, conjuguées entre elles, sont perpendiculaires l’une à l’autre, elles diviseront en deux parties égales les quatre angles formés par les deux autres.
Démontrons présentement que, si quatre droites issues d’un même point, forment un faisceau harmonique, les sinus des angles que formera l’une d’elles avec les deux qui ne lui sont pas conjuguées, seront proportionnels au sinus des angles que formera la droite restante avec les deux mêmes droites, et réciproquement.
