Et d’abord si l’on coupe un angle fixe par deux sécantes arbitraires issues d’un même point fixe du plan de cet angle ; et que l’on joigne les points d’intersection des deux sécantes avec les deux côtés de l’angle par deux nouvelles droites ; ces dernières concourront toujours sur une certaine droite fixe, dont la situation ne dépendra uniquement que de celle du point fixe par rapport à
des conditions graphiques par lesquelles il était d’abord lié aux deux autres, ceux-ci ayant disparu. Il n’y aura cependant aucun inconvénient à lui conserver sa dénomination ou définition primitive.
C’est ainsi, par exemple, que le milieu de la corde intercepté sur une droite, par son intersection avec une ligne du second ordre, est un point toujours réel et assignable, lors même que la droite ne coupe plus la courbe, c’est-à-dire, lorsque les deux extrémités de la corde interceptée sont devenues imaginaires. Ce milieu est déterminé, dans tous les cas, par la rencontre de cette droite avec le conjugué du diamètre qui lui est parallèle. De même, le conjugué harmonique d’un point donné sur la même droite, par rapport à ses deux points d’intersection imaginaires avec la courbe, est toujours constructible, au moyen de la relation dans laquelle le point donné est pris pour origine des , et où est sa distance au point cherché, parce que et sont réels, lors même que et sont imaginaires, puisqu’ils sont alors de la forme et Il est aussi donné graphiquement par l’intersection de la droite donnée avec la polaire du point donné ; et il n’en faut pas davantage pour comprendre comment, dans un groupe harmonique, deux points conjugués peuvent être réels, bien que les deux autres soient imaginaires.
Les remarques qui précèdent doivent être étendues aux intersections des lignes droites avec les courbes de tous les degrés. Il ne faut jamais les perdre de vue, parce quelles sont nécessaires pour donner aux relations que fournit la théorie des transversales et à d’autres relations que nous ferons connaître par la suite, toute la généralité convenable. On ne doit pas d’ailleurs les confondre avec les considérations de M. Poncelet sur la loi de continuité. La distinction en a été déjà faite, avec soin, par M. Cauchy, dans son rapport inséré au tome XI.e des Annales (pag. 69) et placé depuis en tête du Traité des Propriétés projectives des figures.
