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§. III.

Comme le système de deux droites, tracées sur un plan, fait partie des lignes du second ordre, nous pouvons y appliquer les résultats précédens.

il s’agit, pour celles des droites issues du pôle qui ne coupent pas la courbe. La réponse à cette question se trouve dans les considérations suivantes.

Soit une ligne du second ordre et une droite, tracées sur un même plan, et données par leurs équations. Si l’on cherche, par l’analise, leurs points d’intersection ; en désignant par $(x,y)$ l’un quelconque d’entre eux, on trouvera, pour déterminer la coordonnée $x,$ une équation du second degré dont les coefficiens seront toujours réels. Suivant que les deux racines de cette équation seront réelles ou imaginaires, les valeurs correspondantes de l’autre coordonnée y seront aussi réelles ou imaginaires. Dans le premier cas, la droite coupera effectivement la courbe ; dans le second, elle ne la coupera pas, et ses points d’intersection avec elle seront imaginaires.

Quoi qu’il en soit, il suit de la nature de l’équation du second degré qui donne les coordonnées de ces points d’intersection parallèles à un même axe, qu’on aura, dans l’un et l’autre cas, des valeurs réelles pour la somme et pour le produit de ces deux coordonnées. On observera que ceci a lieu, en particulier, lorsque les abscisses sont comptées sur la droite proposée elle-même.

En supposant que les deux points de section existent en réalité, concerons un autre point $\mathrm {P} ,$ lié à ceux-là par une dépendance symétrique ; de telle sorte que les coordonnées de ce point $\mathrm {P}$ soient des fonctions symétriques de celles qui appartiennent aux deux premiers ; ces fonctions pourront donc être exprimées uniquement au moyen des somme et produit dont il vient d’être question ; elles devront conséquemment conserver des valeurs réelles, lors même que les coordonnées des points d’intersection seront devenues imaginaires. Il suit de là que le point $\mathrm {P} ,$ en tant qu’il est déterminé par ses coordonnées, et que ces coordonnées ont pour expression les fonctions symétriques dont il s’agit, demeure réel et constructible lors même que les deux points d’intersection passent du réel à l’imaginaire ; bien qu’alors ce point, ne puisse plus être construit au moyen