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$\mathrm {2AC.BD=CD.(AD-BD)}$

ou bien

$\mathrm {BD(2AC+CD)=AD.CD}$

d’où

$\mathrm {{\frac {AD}{BD}}={\frac {2AC+CD}{CD}}={\frac {2AC+2CI}{2CI}}={\frac {AC+CI}{CI}}={\frac {AI}{CI}}} .$

On a donc d’après cela

$\mathrm {{\frac {AC}{BC}}={\frac {CI}{BI}},\qquad {\frac {AD}{BD}}={\frac {AI}{CI}}} \,;$

puis donc que les premiers membres de ces deux équations sont égaux, on aura, en égalant leurs seconds membres,

$\mathrm {{\overline {CI}}^{2}=AI.BI} \,;$

et ensuite, en éliminant $\mathrm {CI}$

$\mathrm {{\frac {AI}{BI}}={\frac {AC}{BC}}.{\frac {AD}{BD}}={\frac {{\overline {AC}}^{2}}{{\overline {BC}}^{2}}}.={\frac {{\overline {AD}}^{2}}{{\overline {BD}}^{2}}}} .$

Si l’on fait $\mathrm {AB} =x,\ \mathrm {AC} =x''$ et $\mathrm {AD} =x',$ l’équation $\mathrm {{\frac {AC}{BC}}={\frac {AD}{BD}}}$ deviendra ${\frac {x''}{x-x''}}={\frac {x'}{x'-x}}$ ; ce qui donne, toutes réductions faites ;

$2x'x''=x(x'+x'').$

Cela posé, transportons, pour plus de simplicité, au pôle l’origine qui est arbitraire, en prenant pour axe des $x$ une droite quel-