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$A',B',C'$ étant des coefficiens relatifs aux directions de ces deux droites. Si l’on développe cette équation, elle devient

$A'x^{2}+B'y^{2}+2C'xy-(A'x'+C'y')x-2(B'y'+C'x')y$

$+A'x'^{2}+B'y'^{2}+2C'x'y'=0.\quad$(C′)

Concevons une autre couple de droites, joignant les points de section des deux premières avec la courbe (c). Si l’on désigne par $(x'',y'')$ le point de concours de ces nouvelles droites, leur système sera également exprimé par une équation unique de la forme

$A''(x-x'')+B''(y-y'')^{2}+2C''(x-x'')(y-y'')=0,$

dont le développement sera

$A''^{2}x^{2}+B''^{2}y^{2}+2C''xy-2(A''x''+C''y'')x-2(B''y''+C''x'')y$

$+A''x''^{2}+B''y''^{2}+2C''x''y''=0.\quad$(C″)

Mais, puisque les deux couples de droites exprimées par les équations (C), (C″) ont avec la courbe proposée (c) quatre points communs, et qu’ainsi on peut considérer les équations (c), (C′), (C″) comme appartenant à trois lignes du second ordre qui ont les mêmes points d’intersection ; il faut (§. I.) que, moyennant une détermination convenable du facteur $m,$ on ait, entre les coefficiens correspondans de ces trois équations, les six relations suivantes :

$mA+A'=A'',\qquad mB+B'=B'',\qquad mC+C'=C'',$

$mD-(A'x'+C'y')=-(A''x''+C''y''),$

$mE-(B'y'+C'x')=-(B''y''+C''x''),$

$mF+\left(A'x'^{2}+B'y'^{2}+2C'x'y'\right)=\left(A''x''^{2}+B''y''^{2}+2C''x''y''\right),$

par lesquelles on peut effectivement déterminer les six inconnues $m,x'',y'',A'',B'',C''.$

Il est aisé d’en déduire une équation entre les coordonnées $x'',$