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§. II.

Ne considérons présentement que la seule courbe (c), donnée par l’équation

$Ax^{2}+By^{2}+2Cxy+2Dx+2Ey+F=0,\qquad$(c)

Par un point $(x',y'),$ pris à volonté sur le plan de cette courbe, soient menées deux droites qui la coupent. Le système de ces deux droites sera représenté par une équation du second degré de la forme

$A'(x-x')^{2}+B'(y-y')^{2}+2C'(x-x')(y-y')=0,$

coefficiens entiers, si l’on peut trouver trois multiplicateurs $\lambda ,\lambda ',\lambda ''$ qu’on peut également supposer entiers, positifs ou négatifs, tels qu’on ait

${\begin{array}{ll}\lambda A+\lambda 'A'+\lambda ''A''=0,&\lambda D+\lambda 'D'+\lambda ''D''=0,\\\\\lambda B+\lambda 'B'+\lambda ''B''=0,&\lambda E+\lambda 'E'+\lambda ''E''=0,\\\\\lambda C+\lambda 'C'+\lambda ''C''=0,&\lambda F+\lambda 'F'+\lambda ''F''=0,\end{array}}$

Il est manifeste qu’alors chacune de ces trois équations sera comportée par les deux autres ; de telle sorte que, quelles que soient les deux d’entre elles que l’on combine, par voie d’élimination, on en tirera toujours les quatre mêmes systèmes de valeurs de $x$ et $y\,;$ ce qui revient à dire que les trois courbes passent par les quatre mêmes points. Réciproquement, si les trois courbes passent par les quatre mêmes points, chacune des trois équations (c), (c′), (c″) sera comportée par les deux autres ; d’où il suit évidemment qu’il devra être possible de trouver trois multiplicateurs $\lambda ,\lambda ',\lambda '',$ qui vérifient les six relations ci-dessus.

Or, que l’on rapporte ensuite les trois mêmes courbes à un autre système de coordonnées ; elles seront toujours en même situation les unes à l’égard des autres ; d’où il suit évidemment que six relations semblables aux précédentes devront encore avoir lieu.

J. D. G.