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Mais l’équation de cette troisième courbe (c″) peut aussi s’écrire comme il suit :

A''x^{2}+B''y^{2}+2C''xy+2D''x+2E''y+F''=0.\qquad

(c″)

Exprimant donc qu’elle est identique avec la précédente, on aura ces six relations

{\begin{array}{lll}mA+A'=A'',&mB+B'=B'',&mC+C'=C''.\\mD+D'=D'',&mE+E'=E'',&mF+F'=F''.\end{array}}

signifiant, que la courbe (c″) passe par les points d’intersection des courbes (c), (c′), quels qu’ils soient ; ou, ce qui revient au même, que les trois lignes du second ordre (c), (c′), (c″), rapportées à deux axes quelconques de coordonnées, ont les mêmes points d’intersection, soit réels soit imaginaires.

Au surplus, ces relations étant établies relativement au système d’axes de coordonnées auxquels nos trois courbes (c), (c′), (c″) sont actuellement rapportées, on peut aisément s’assurer, par la transformation des coordonnées, que, si l’on passe de ce premier système à tout autre, les mêmes relations subsisteront, entre les coefficiens correspondans des trois nouvelles équations qui représenteront (c), (c′), (c″)^[1].

↑ Généralement, trois lignes du second ordre (c), (c′), (c″), rapportées aux mêmes axes quelconques, étant exprimées par les trois équations,
$Ax^{2}\ \,+By^{2}\ \,+2Cxy\ \ +2Dx\ \ +2Ey\ \ +F\ \ =0,\qquad$ (c)

$A'x^{2}\,+B'y^{2}\,+2C'xy\,+2D'x\,+2E'y\,+F'\,=0,\qquad$ (c′)

$A''x^{2}+B''y^{2}+2C''xy+2D''x+2E''y+F''=0,\qquad$ (c″)

dans lesquelles, sans rien ôter à leur généralité, on peut supposer tous les

[p276-1] Généralement, trois lignes du second ordre (c), (c′), (c″), rapportées aux mêmes axes quelconques, étant exprimées par les trois équations,
$Ax^{2}\ \,+By^{2}\ \,+2Cxy\ \ +2Dx\ \ +2Ey\ \ +F\ \ =0,\qquad$ (c)

$A'x^{2}\,+B'y^{2}\,+2C'xy\,+2D'x\,+2E'y\,+F'\,=0,\qquad$ (c′)

$A''x^{2}+B''y^{2}+2C''xy+2D''x+2E''y+F''=0,\qquad$ (c″)

dans lesquelles, sans rien ôter à leur généralité, on peut supposer tous les

[1]