gré, à coefficiens réels, dont les racines seront les abscisses des points communs aux deux courbes proposées. À chaque racine réelle correspondra, d’après l’équation une valeur réelle de l’ordonnée et à chaque couple de racines imaginaires conjuguées, une couple de valeurs imaginaires conjuguées de Or, cette équation du quatrième degré en pourra avoir quatre racines toutes réelles, ou bien deux racines réelles et une couple de racines imaginaires conjuguées, ou bien enfin quatre racines imaginaires, conjuguées deux à deux. Dans le premier cas, les deux courbes (c), (c′) auront quatre points d’intersection réels ; dans le second, elles n’en auront que deux, et dans le troisième elles n’en auront aucune. On voit aussi par là que deux lignes du second ordre ne sauraient avoir plus de quatre points communs sans se confondre.
Supposons présentement qu’une troisième ligne (c″), d’un ordre quelconque, tracée sur le plan des deux premières (c), (c′), et rapportée aux mêmes axes, soit exprimée par une équation à laquelle satisfassent les coordonnées, soit réelles soit imaginaires, de chacun des points d’intersections des courbes (c), (c′) ; nous dirons alors que cette courbe (c″) passe par les points d’intersection des deux premières (c), (c′).
Il est visible que toute équation qu’on peut former par une combinaison des équations (c), (c′) exprime une telle courbe. Mais, si l’on veut que cette courbe (c″) soit elle-même une ligne du second ordre, il faudra combiner les équations (c), (c′) de telle sorte que l’équation résultante, qui doit représenter (c″), ne s’élève pas au-dessus du second degré. C’est ce qu’on ne peut obtenir qu’en ajoutant à l’une d’elles le produit de l’autre par un facteur numérique indéterminé [1].
Il vient ainsi
- ↑ Il y aurait, peut-être, un peu plus de symétrie, mais pas plus de généralité, à prendre la somme des produits respectifs de ces deux équa-
