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on affirmer, à l’avance, qu’elle ne dépend point de l’unité linéaire^[1] ?

Voilà, Monsieur, ce que j’avais à dire sur la démonstration de M. Legendre, en l’entendant toutefois comme je l’ai expliqué ci-dessus. Mais, de quelque manière d’ailleurs qu’on veuille la développer, on sera toujours conduit à raisonner sur la forme de l’équation qui subsiste entre les côtés et les angles d’un triangle ; et on ne voit guère comment on pourra, à priori, avancer quelque chose de certain sur la forme d’une relation dont la trigonométrie (fondée elle-même sur la similitude des triangles) donne la première idée.

Je terminerai, Monsieur, en essayant de mettre fin à la discussion qui s’est élevée entre M. Vincent et moi, relativement aux exposans fractionnaires. Elle se réduit finalement à la seule question : peut-on réduire un exposant fractionnaire à sa plus simple expression, de même que toute autre fraction quelconque ? En effet, si l’on répond affirmativement, M. Vincent a complètement raison : dans le cas contraire, mes raisonnemens conservent toute leur force. Or, cette réponse, quelle qu’elle soit, ne dépend que de la définition que l’on voudra donner de l’expression $a^{\frac {m}{n}}.$ Posera-t-on $a^{\frac {m}{n}}=\left({\sqrt[{n}]{a}}\right)^{m},$ ou bien $a^{\frac {m}{n}}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}$ ? Si l’on admet la première définition, il n’y a aucun doute sur l’identité entre $a^{\frac {m}{n}}$ et $a^{\frac {mp}{np}}$ ce que l’on prouve, facilement, sans recourir à la formule

1. Il nous paraît que, si les scrupules de M. Stein étaient fondés, il deviendrait superflu de calculer des formules générales, attendu que ces formules ne pourraient jamais être employées en pleine sécurité. Nous doutons que M. Stein lui-même soit fort disposé à accepter une conséquence aussi fâcheuse et incommode.
   J. D. G.