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nombre dépendant de l’unité linéaire et $A,B,C$ sont des nombres dépendant de l’unité angulaire. Or, si l’on avait $C=\varphi (A,B,c),$ on en tirerait $c=\operatorname {f} (A,B,C)\,;$ donc, en conservant l’angle droit comme unité angulaire, on aurait $\operatorname {f} (A,B,C),$ nombre déterminé, constant et indépendant de l’unité linéaire, égal à un nombre $c,$ variable en même temps que cette unité ; ce qui ne saurait avoir lieu ; de sorte qu’on doit avoir simplement $C=\varphi (A,B).$

La démonstration, ainsi présentée, paraît à l’abri de toute objection ; cependant, on en découvre assez facilement le côté faible. On voit, en effet, que, si la forme de la fonction $\operatorname {f} ,$ ou, ce qui revient au même, la forme de l’équation $C=\varphi (A,B,c)$ pouvait changer, avec l’unité linéaire, la relation $c=\operatorname {f} (A,B,C)$ n’offrirait plus aucune absurdité ; et comment prouver que la forme de l’équation $C=-\varphi (A,B,c)$ ne dépend pas de l’unité linéaire ?

La difficulté acquiert une nouvelle force par la considération suivante :

On a certainement $C=\psi (a,b,c)\,;$ or, en prenant et conservant une unité linéaire déterminée, la fonction $\psi (a,b,c)$ sera un nombre déterminé, constant et indépendant de l’unité angulaire, d’où il suit que la forme de la fonction $\psi$ doit varier avec l’unité angulaire, sans quoi l’équation $C=\psi (a,b,c)$ serait absurde, aussi bien que $c=\operatorname {f} (A,B,C)$^[1].

Or, si la forme de la relation entre les côtés et les angles d’un triangle dépend, en effet, de l’unité angulaire, comment osera-t-

peuvent varier avec la nature des objets sur lesquels on opère : mais le but demeure toujours le même.

J. D. G.
1. Cette difficulté a été, sinon complètement résolue, du moins singulièrement éclaircie, dans le mémoire déjà cité du tome X.^e
   J. D. G.