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avions désignées par $d,r,d',r',k$ pour les premiers ; nous aurons, comme alors,

${\begin{alignedat}{2}d=&r+\lambda k,&d'=&r'+\lambda 'k,\\d_{1}=&r_{1}+\lambda k_{1},\qquad &d_{1}'a=&r'_{1}+\lambda 'k_{1}\,;\end{alignedat}}$

d’où en retranchant

$d_{1}-d=r_{1}-r+\lambda (k_{1}-k),\qquad d'_{1}-d'=r'_{1}-r'+\lambda '(k_{1}-k)\,;$

puis en éliminant $k_{1}-k,$

${\frac {d_{1}-d-(r_{1}-r)}{\lambda }}={\frac {d'_{1}-d'-(r'_{1}-r')}{\lambda '}}\,;$

mais, en représentant par $s$ et $s',$ respectivement les longueurs des arcs de chaque caustique compris entre les points de contact des deux rayons, et en supposant que les rayons de courbure vont croissant, on a

$r_{1}-r=s,\qquad r'_{1}-r'=s'\,;$

on aura donc, en substituant

${\frac {d_{1}-d+s}{\lambda }}={\frac {d'_{1}-d'+s'}{\lambda '}}\,;$

c’est-à-dire qu’en général la différence des longueurs de deux rayons incidens, mesurées depuis leur caustique jusqu’à la courbe séparatrice, augmentée de l’arc de cette caustique compris entre eux, est à la différence des longueurs des rayons réfractés correspondans, mesurées également depuis leur caustique jusqu’à la courbe séparatrice, augmentée de l’arc de cette caustique compris entre eux, dans le rapport constant du sinus d’incidence au sinus de réfraction. Nous disons en général, parce que le théorème se trouverait en défaut si, sur l’une ou sur l’autre caustique ou sur toutes les