donc la somme 
doit être inférieure ou tout au plus égale à 
ou, en réduisant 
Si, entre 
et 
on élève une autre perpendiculaire 
coupant 
en 
on aura de même 
Ainsi, en imaginant qu’une droite, constamment perpendiculaire à 
parte de la position 
pour parvenir à une dernière position 
cette droite ne cessera de couper 
en faisant avec elle des angles 
qui croîtront continuellement, à moins qu’ils ne s’avisent de rester égaux pendant quelque temps.
Admettons pour un moment cette hypothèse, et soit 
Par le milieu 
de 
j’abaisse sur 
la perpendiculaire 
qui prolongée ira couper 
en 
À cause de l’égalité des triangles 
et 
sera aussi perpendiculaire sur 
Ainsi, dans cette hypothèse, on aurait un quadrilatère 
dont les quatre angles seraient tous droits, résultat qui donnerait, sur-le-champ, comme on sait, la démonstration du théorème pythagoricien. Il faut donc, si l’on veut prolonger la discussion, supposer que les angles ou, ce qui est la même chose, leurs opposés au sommet 
croissent sans interruption vers une limite qui est l’angle 
On ne dira pas qu’au lieu de 
il faut prendre pour limite un angle moindre 
car par 
soit menée 
faisant avec 
un angle 
notre droite mobile, dans sa dernière position, serait à la fois sur et sur 
c’est-à-dire qu’il y aurait deux chemins distincts et les plus courts entre et 
ce qui est absurde. Ceci est un lemme pour ce qui suit.
Soit un triangle acutangle, non équilatéral 
(fig. 4). Sur 
je construis 
équilatéral avec 
et je tire 
coupant 
en 
Soient 
les sommes d’angles des triangles 
respectivement. On aura 
Or les sommes 
sont inégales ou égales. Dans le premier cas, soit 
on aura donc aussi 
Comme 
est per-
