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$t-{\frac {t^{3}}{1.3}}+{\frac {t^{5}}{1.2.5}}-{\frac {t^{7}}{1.2.3.7}}-{\frac {t^{9}}{1.2.3.4.9}}-\ldots ={\frac {\sqrt {\varpi }}{4}}-{\frac {e^{-t^{2}}}{2(0,2074){\sqrt {n}}}}.$

En négligeant d’abord le second terme de son second membre, on trouve que la valeur de $t$ est à très-peu près égale à $0,45.$ Si l’on fait ensuite $t=0,45+x,$ et que l’on détermine $x,$ en négligeant son carré et ses puissances supérieures, on trouve

$t=0,4460-{\frac {1}{2(0,2074){\sqrt {n}}}}\,;$

d’où il résulte qu’il y a un contre un à parier que sur un grand nombre $n$ de coups, le nombre $m$ des refaits sera compris entre les deux limites

$(0,021967)n\pm \left[(0,0924){\sqrt {n}}-{\frac {1}{2}}\right].$

Ainsi, sur un million de coups, par exemple, il sera indifférent de parier que le nombre de refaits différera de $21967,$ en plus ou en moins, d’un nombre plus grand ou d’un nombre plus petit que $92.$

En général, lorsque deux joueurs jouent l’un contre l’autre, à jeu égal, il y a la probabilité $r$ que le nombre des parties que l’un des deux, sans désigner lequel, gagnera de plus que l’autre, sur un très-grand nombre de coups, n’excédera pas le double de $t{\sqrt {2p(1-p)n}},$ en faisant dans ce double $p={\frac {1}{2}}\,;$ ce qui donne $t{\sqrt {2n}}.$ Si donc on prend pour $t$ la valeur qui répond à $r={\frac {1}{2}},$ il y aura un contre un à parier que la différence entre les nombres de parties gagnées par les deux joueurs n’excédera pas

$(06307){\sqrt {n}}-1\,;$

ce qui fait $630,$ par chaque million de parties. Il y aurait donc du désavantage à parier, par exemple, que l’un des joueurs gagnerait moins de $600$ parties de plus que l’autre, et de l’avantage à parier que la différence des parties gagnées n’excéderait pas $650$ parties.