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$r={\frac {2}{\sqrt {\varpi }}}\int e^{-t^{2}}\operatorname {d} t+{\frac {e^{-t^{2}}}{\sqrt {2p(1-p)n\varpi }}}\,;\qquad$^[1]

l’intégrale commençant avec $t,\ e$ étant la base des logarithmes népériens, et $\varpi$ le rapport de la circonférence au diamètre. Quand la variable $t$ augmentera, la probabilité, approchera davantage de l’unité ou de la certitude ; mais, en même temps, les limites de la différence ${\frac {m}{n}}-p$ seront plus étendues. Au contraire, lorsque $t$ diminuera, ces limites seront plus étroites ; mais la probabilité $r$ qui leur correspond s’affaiblira et finira par devenir très petite et peu différente de

${\frac {1}{\sqrt {2p(1-p)n\varpi }}}.$

Quand elle sera égale à ${\frac {1}{2}},$ on pourra indifféremment espérer que cette différence ${\frac {m}{n}}-p,$ tombera en dedans ou en dehors de ces limites. La variable $t$ restant la même, si le nombre $n$ augmente indéfiniment, la probabilité $r$ variera très-peu, et les limites de la différence ${\frac {m}{n}}-p$ décroîtront de plus en plus ; de manière qu’on pourra toujours prendre $n$ assez grand pour que ces limites tombent au-dessous de toute quantité donnée. Si l’on considérait la différence $m-np,$ entre le nombre $m$ des refaits observés, et le nombre $np$ des refaits calculés d’après leur probabilité $p,$ les limites de cette différence seraient

$\pm t{\sqrt {2p(1-p)n}}\,;$

la probabilité $r$ étant la même que précédemment. Ces limites

1. Théorie analitique des probabilités, pag. 280.