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cédemment (n.^o 7), en calculant la probabilité du $31$ de refait. En appelant donc $q$ la probabilité d’un coup nul quelconque, nous aurons

$q=\left(p_{2}^{2}+p_{3}^{2}+p_{4}^{2}+\ldots +p_{10}^{2}\right){\frac {s+1}{s}}\,;$

ce qui donne, en effectuant le calcul numérique,

$q=008810.$

12. Dans une longue suite de coups, les événemens arrivent, à très-peu près, proportionnellement à leurs probabilités respectives. Ainsi, le rapport du nombre des coups nuls au nombre total des coups s’écartera peu d’être celui de $881$ à $10000\,;$ et d’après la probabilité d’un refait de $31,$ que nous avons trouvée (n.^o 7), le rapport du nombre des refaits au nombre des coups joués, y compris les coups nuls, sera, à très-peu près, égal à celui de $21967$ à $1000000.$ Mais ces proportions sont des limites dont les résultats du hasard devront s’approcher indéfiniment, à mesure que le nombre des coups deviendra plus grand ; et l’on peut déterminer, pour chaque nombre de coups, la probabilité que ces résultats ne s’écarteront pas de leurs limites au-delà d’une quantité donnée.

En désignant par $n$ le nombre total des coups, par $m$ celui des refaits de $31,$ par $p$ la probabilité d’un refait, par $r$ la probabilité que la différence ${\frac {m}{n}}-p$ sera comprise entre deux limites données et représentées par

$-{\frac {t{\sqrt {2p(1-p)}}}{\sqrt {n}}},\quad$et$\quad +{\frac {t{\sqrt {2p(1-p)}}}{\sqrt {n}}},$

on trouvera