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$U=(s+1){\frac {\operatorname {d} .}{\operatorname {d} \alpha }}\iint Y\alpha \operatorname {d} y\operatorname {d} z,$

où l’on fera $\alpha =1,$ après la différentiation, en intégrant ensuite depuis $y=0$ et $z=0,$ jusqu’à $y=1$ et $z=1.$ La question se réduira à calculer le coefficient de $t^{3l}\theta ^{31},$ dans le développement de cette quantité $U,$ suivant les puissances et produits de puissances de $t$ et $\theta .$ Le nombre des facteurs de $Y,$ et la grandeur de leurs exposans, rendraient impraticable le calcul rigoureux de ce coefficient ; mais on peut réduire l’intégrale $\int Y\operatorname {d} y$ en une série convergente, au moyen de laquelle on obtiendra, à tel degré d’approximation qu’on voudra, la valeur du coefficient demandé.

Pour cela, soit

$V=-{\frac {Y\operatorname {d} y}{\operatorname {d} Y}}\,;$

nous aurons

$\int Y\operatorname {d} y=-\int V\operatorname {d} Y\,;$

et, par une suite d’intégrations par parties, nous en conclurons

$Y\operatorname {d} y=\left\{{\begin{aligned}&Y_{0}\left[V_{0}+V_{0}{\frac {\operatorname {d} V_{0}}{\operatorname {d} y}}+V_{0}{\frac {\operatorname {d} \left(V_{0}{\frac {\operatorname {d} V_{0}}{\operatorname {d} y}}\right)}{\operatorname {d} y}}+V_{0}{\frac {\operatorname {d} \left(V_{0}{\frac {\operatorname {d} \left(V_{0}{\frac {\operatorname {d} V_{0}}{\operatorname {d} y}}\right)}{\operatorname {d} y}}\right)}{\operatorname {d} y}}+\ldots \right]\\\\-&Y_{1}\left[V_{1}+V_{1}{\frac {\operatorname {d} V_{1}}{\operatorname {d} y}}+V_{1}{\frac {\operatorname {d} \left(V_{1}{\frac {\operatorname {d} V_{1}}{\operatorname {d} y}}\right)}{\operatorname {d} y}}+V_{1}{\frac {\operatorname {d} \left(V_{1}{\frac {\operatorname {d} \left(V_{1}{\frac {\operatorname {d} V_{1}}{\operatorname {d} y}}\right)}{\operatorname {d} y}}\right)}{\operatorname {d} y}}+\ldots \right]\end{aligned}}\right\}$

les indices $0$ et $1$ indiquant respectivement qu’il faut faire $y=0$ et $y=1,$ après différentions. Cette série est une de celles que M. Laplace a donné, pour calculer par approximation, les intégrales