THÉORÈME V. Des rayons de lumière parallèles entre eux se réfléchissant à la rencontre d’une surface quelconque ; si, des différens points de cette surface, pris successivement pour centres, en décrit des sphères tangentes à un même plan, perpendiculaire à la direction commune des rayons incidens ; l’enveloppe de toutes ces sphères sera une des surfaces trajectoires orthogonales des rayons réfléchis.
THÉORÈME VI. Des rayons de lumière, issus d’un même point de l’espace, se réfléchissant à la rencontre d’une surface quelconque ; si, des différens points de cette surface, pris successivement pour centres, on décrit des sphères qui passent par le point rayonnant ; l’enveloppe de toutes ces sphères sera une des trajectoires orthogonales des rayons réfléchis.
Si l’on suppose que la surface trajectoire orthogonale des rayons incidens, ainsi que la surface séparatrice ou réfléchissante, sont deux surfaces de révolution ayant même axe ; auquel cas l’enveloppe de sphères sera aussi une surface de révolution, ayant même axe que les deux premières ; en considérant ce qui se passe dans un plan quelconque, passant par cet axe, on retombera sur les six théorèmes relatifs aux caustiques planes que nous avons démontrés dans le mémoire rappelé au commencement de celui-ci qui, de cette sorte, peut le suppléer complètement.
On voit, par ce qui précède, que si des rayons incidens peuvent être traversés orthogonalement par une même surface, ou, ce qui revient au même, si ces rayons forment deux séries de surfaces développables, telles que chacune des surfaces de l’une des séries soit coupée orthogonalement par toutes les surfaces de l’autre série ; ce qui comprend, comme cas particuliers, les cas où ces rayons seraient issus d’un même point ou parallèles entre eux ; tant de réfraction et de réflexion qu’on voudra leur faire subir successivement à la rencontre de surfaces quelconques, ne pourront leur faire perdre ce caractère, c’est-à-dire, qu’après les avoir subies, ils pourront encore
